Eulerin menetelmä selitetty esimerkeillä

Mikä on Eulerin menetelmä?

Eulerin menetelmä on ensiluokkainen numeerinen menettely tavallisten differentiaaliyhtälöiden (ODE) ratkaisemiseksi tietyllä alkuarvolla.

Yleinen alkuperäisen arvon ongelma

Metodologia

Eulerin menetelmä käyttää yksinkertaista kaavaa,

muodostamaan tangentti pisteessä xja saamaan arvo y(x+h), jonka kaltevuus on,

Eulerin menetelmässä voit arvioida ratkaisun käyrän tangentilla kullakin aikavälillä (toisin sanoen lyhyiden viivasegmenttien sekvenssillä) vaiheittain h.

Yleensä , jos käytät pientä askelkokoa, likiarvon tarkkuus kasvaa.

Yleinen kaava

Funktionaalinen arvo missä tahansa kohdassa b, jonka antaay(b)

missä,

  • n = vaiheiden lukumäärä
  • h = välileveys (kunkin vaiheen koko)

Pseudokoodi

Esimerkki

Etsi y(1), annettu

Analyyttisesti ratkaisemalla ratkaisu on y = ex ja y(1)= 2.71828. (Huomaa: Tämä analyyttinen ratkaisu on tarkoitettu vain tarkkuuden vertailuun.)

Eulerin menetelmää, ottaen h= 0.2, 0.1, 0.01, näet tulokset kaavion alla.

Kun h= 0.2, y(1)= 2.48832(virhe = 8,46%)

Kun h= 0.1, y(1)= 2.59374(virhe = 4,58%)

Kun h= 0.01, y(1)= 2.70481(virhe = 0,50%)

Voit huomata, kuinka tarkkuus paranee, kun vaiheet ovat pienet.