Kuinka naiivit Bayes-luokittelijat toimivat - Python-koodiesimerkkien kanssa

Naiviset Bayes-luokittelijat (NBC) ovat yksinkertaisia ​​mutta tehokkaita koneoppimisalgoritmeja. Ne perustuvat ehdolliseen todennäköisyyteen ja Bayesin lauseeseen.

Tässä viestissä selitän NBC: n takana olevaa temppua ja annan sinulle esimerkin, jolla voimme ratkaista luokitusongelman.

Seuraavissa osissa puhun NBC: n takana olevasta matematiikasta. Voit ohittaa nuo osiot ja siirtyä toteutusosaan, jos et ole kiinnostunut matematiikasta.

Toteutusosiossa näytän yksinkertaisen NBC-algoritmin. Sitten käytämme sitä ratkaisemaan luokitusongelman. Tehtävänä on selvittää, selviikö tietty Titanicin matkustaja onnettomuudesta vai ei.

Ehdollinen todennäköisyys

Ennen kuin puhumme itse algoritmista, puhutaan sen takana olevasta yksinkertaisesta matematiikasta. Meidän on ymmärrettävä, mikä ehdollinen todennäköisyys on ja miten voimme käyttää Bayesin teemaa sen laskemiseen.

Ajattele reilua kuolla puolella. Mikä on todennäköisyys saada kuusi rullatessasi muottia? Se on helppoa, se on 1/6. Meillä on kuusi mahdollista ja yhtä todennäköistä tulosta, mutta vain yksi niistä on kiinnostunut. Joten 1/6 se on.

Mutta mitä tapahtuu, jos kerron sinulle, että olen jo rullannut kappaleen ja tulos on parillinen luku? Mikä on todennäköisyys, että meillä on nyt kuusi?

Tällä kertaa mahdolliset tulokset ovat vain kolme, koska kuolla on vain kolme parillista numeroa. Olemme edelleen kiinnostuneita vain yhdestä näistä tuloksista, joten todennäköisyys on nyt suurempi: 1/3. Mitä eroa molemmissa tapauksissa on?

Ensimmäisessä tapauksessa meillä ei ollut ennakkotietoa tuloksesta. Siksi meidän oli otettava huomioon kaikki mahdolliset tulokset.

Toisessa tapauksessa meille kerrottiin, että lopputulos oli parillinen luku, joten voisimme pienentää mahdollisten tulosten tilan vain kolmeen parilliseen numeroon, jotka näkyvät tavallisessa kuusisivuisessa kuolla.

Yleisesti ottaen laskettaessa tapahtuman A todennäköisyyttä, ottaen huomioon toisen tapahtuman B, sanomme, että laskemme A: n B: n ehdollisen todennäköisyyden tai vain A: n B: n todennäköisyyden. Me merkitsemme sitä P(A|B).

Esimerkiksi todennäköisyys saada kuusi koska numeron olemme saaneet on vieläkin: P(Six|Even) = 1/3. Tässä me merkitsimme Sixillä kuuden saamisen tapahtumaa ja Even tapahtumalla parillisen luvun saamista.

Mutta kuinka laskemme ehdolliset todennäköisyydet? Onko olemassa kaavaa?

Kuinka lasketaan ehdolliset koettimet ja Bayesin lause

Annan nyt pari kaavaa ehdollisten koettimien laskemiseksi. Lupaan, etteivät ne ole vaikeita, ja ne ovat tärkeitä, jos haluat ymmärtää koneoppimisalgoritmien oivallukset, joista puhumme myöhemmin.

Tapahtuman A todennäköisyys tietyn toisen tapahtuman B esiintyessä voidaan laskea seuraavasti:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

Missä P(A,B)tarkoittaa sekä A: n että B: n samanaikaisen esiintymisen P(B)todennäköisyyttä ja B: n todennäköisyyttä.

Huomaa, että tarvitsemme, P(B) > 0koska ei ole mitään järkeä puhua A: n B todennäköisyydestä, jos B: n esiintyminen ei ole mahdollista.

Voimme myös laskea tapahtuman A todennäköisyyden, kun otetaan huomioon useiden tapahtumien B1, B2, ..., Bn esiintyminen:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

Ehdollisten koettimien laskemisessa on toinen tapa. Tällä tavalla on niin kutsuttu Bayesin lause.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

Huomaa, että laskemme tapahtuman A todennäköisyyden tapahtuman B perusteella kääntämällä tapahtumien esiintymisjärjestyksen.

Oletetaan nyt, että tapahtuma A on tapahtunut ja haluamme laskea tapahtuman B todennäköisyydet (tai tapahtumat B1, B2, ..., Bn toisessa ja yleisemmässä esimerkissä).

Tärkeä seikka, joka voidaan johtaa tästä lauseesta, on laskettava kaava P(B1,B2,...,Bn,A). Sitä kutsutaan todennäköisyyksien ketjusäännöksi.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

Se on ruma kaava, eikö olekin? Joissakin olosuhteissa voimme kuitenkin kiertää ongelman ja välttää sen.

Puhutaan viimeisestä käsitteestä, joka meidän on tiedettävä algoritmien ymmärtämiseksi.

Itsenäisyys

Viimeinen käsite, josta aiomme puhua, on riippumattomuus. Sanomme, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos

P(A|B) = P(A) 

Tämä tarkoittaa, että tapahtuman B tapahtuma ei vaikuta tapahtuman A todennäköisyyteen. Suora seuraus on se P(A,B) = P(A)P(B).

Selkeästi englanniksi tämä tarkoittaa, että sekä A: n että B: n esiintymisen todennäköisyys samanaikaisesti on yhtä suuri kuin erikseen esiintyvien A: n ja B: n probien tulo.

Jos A ja B ovat riippumattomia, se pitää myös sitä, että:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

Nyt olemme valmiita puhumaan Naive Bayes -luokittelijoista!

Naiviset Bayes-luokittelijat

Oletetaan, että meillä vektori X on n ominaisuuksia ja haluamme selvittää mainitaan kyseisen vektorin joukosta K luokkia y1, y2, ..., yk . Esimerkiksi, jos haluamme selvittää, satako sateita tänään vai ei.

Meillä on kaksi mahdollista luokkaa ( k = 2 ): sade , ei sade , ja piirteiden vektorin pituus voi olla 3 ( n = 3 ).

Ensimmäinen ominaisuus voi olla pilvinen vai aurinkoinen, toinen ominaisuus kosteuden korkea vai matala ja kolmas ominaisuus lämpötilan korkea, keskitaso vai matala.

Joten nämä voivat olla mahdollisia ominaisuusvektoreita.

Meidän tehtävämme on selvittää sateen vai ei, kun otetaan huomioon sääolosuhteet.

Ehdollisten todennäköisyyksien oppimisen jälkeen näyttää luonnolliselta lähestyä ongelmaa yrittämällä laskea sateen todennäköisyys seuraavien ominaisuuksien perusteella:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

Jos R > NRvastaamme, että sataa, muuten sanomme, että ei.

Yleensä, jos meillä on k luokkaa y1, y2, ..., yk ja n ominaisuuksien vektori X = , haluamme löytää luokan yi, joka maksimoi

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Huomaa, että nimittäjä on vakio ja se ei riipu luokasta yi . Joten voimme sivuuttaa sen ja keskittyä vain osoittajaan.

Edellisessä osassa näimme kuinka laskea P(X1, X2,..., Xn, yi)hajottamalla se ehdollisten todennäköisyyksien tulokseen (ruma kaava):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Olettaen, että kaikki ominaisuudet Xi ovat riippumattomia, ja käyttämällä Bayesin teoreemaa voimme laskea ehdollisen todennäköisyyden seuraavasti:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Ja meidän on vain keskityttävä osoittajaan.

Löytämällä luokan yi, joka maksimoi edellisen lausekkeen, luokittelemme tulovektorin. Mutta kuinka voimme saada kaikki nuo todennäköisyydet?

Kuinka lasketaan todennäköisyydet

Tällaisten ongelmien ratkaisemisessa meillä on oltava joukko aiemmin luokiteltuja esimerkkejä.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

Tässä artikkelissa olet lukenut ehdollisista todennäköisyyksistä, riippumattomuudesta ja Bayesin lauseesta. Nämä ovat matemaattisia käsitteitä Naive Bayes -luokittelijoiden takana.

Sen jälkeen näimme yksinkertaisen NBC: n toteutuksen ja ratkaisimme ongelman selvittää, selviytyikö Titanicin matkustaja onnettomuudesta.

Toivon, että pidit tästä artikkelista hyödyllistä. Voit lukea tietojenkäsittelytieteisiin liittyvistä aiheista henkilökohtaisessa blogissani ja seuraamalla minua Twitterissä.